José Antonio Eulate forma parte de la prodigiosa generación que en 1977 ganó la I Copa del Rey para el Real Betis Balompié. Un poderoso delantero que lo mismo jugaba en el eje del ataque que en la banda derecha y que, sin excesivo protagonismo en aquella escuadra, tuvo mucha presencia en el torneo copero que le dio el título a los verdiblancos. En la mítica tanda de penaltis transformó el noveno castigo lanzado por su equipo y, para su satisfacción, conserva desde aquel día el balón con el que el Real Betis se proclamó campeón de Copa.

Nacido en Salamanca el 10 de mayo de 1955, José Antonio Gómez Álvarez de Eulate llegó al Real Betis en 1974 con tan solo 19 años, procedente de la Ponferradina, equipo de Tercera División.

Su debut con la camiseta verdiblanca tuvo lugar el 1 de junio de 1975 en partido correspondiente a los octavos de final de Copa, que enfrentó en Heliópolis al Real Betis y al Athletic Club de Bilbao. Eulate sustituyó tras el descanso al mítico Rogelio, siendo entrenador verdiblanco Ferenc Szusza.

En la temporada 75-76 fue cedido al Jerez Industrial, entonces en Tercera División, pero las lesiones de Anzarda, Mendieta, Ladinski y García Soriano, precipitaron su incorporación al equipo.

En Liga, disputó su primer partido con el Real Betis el 28 de diciembre de 1975 en Alicante contra el Hércules y su primer gol lo anotó en febrero de 1976 ante el Real Zaragoza en el Benito Villamarín. Participó en todos los partidos de Copa de ese año, competición en la que el Real Betis llegó a las semifinales.

En la campaña siguiente, la 76-77, jugó muy poco en el Campeonato de Liga, apenas dos partidos, pero su concurso fue muy valioso en la Copa del Rey, donde actuó en la eliminatoria de cuartos de final contra el Hércules y en la semifinal ante el Espanyol. En la final, sustituyó a Megido en la prórroga y transformó el penalti de la segunda tanda que le correspondió lanzar.

Fue más habitual en las alineaciones en la temporada 77-78, llegando a actuar en 3 de los partidos de la Recopa disputados por el Betis en los que marcó un gol contra el Milán en Heliópolis.

En el mes de enero de 1979 fue cedido al Recreativo de Huelva, que en esa campaña se hallaba en Primera División. Al concluir el ejercicio, recibió la carta de libertad del Real Betis fichando por el Levante, donde permaneció tres años. Después jugó en el Albacete y acabó su carrera en la Ponferradina, equipo que entrenaría a mediados de la década de los 90.

En las cinco temporadas en que José Antonio Eulate vistió la camiseta verdiblanca disputó 66 partidos oficiales (44 de Liga; 19 de Copa y 3 de la Recopa de Europa), marcando 13 goles.